గణితాధ్యయనంలో “పునశ్చరణ” మరియు “అభ్యాసం” యొక్క ప్రాముఖ్యత

ఉమాహరికుమార్

ఒలంపిక్ ఆటస్థలంలో స్కేటింగ్ చేస్తోన్న అమ్మాయి, పట్టుదలతో, ఉత్సాహంతో విన్యాసాలు చేస్తోన్న చైనాక్రీడాకారులు, సితార్ ను మధురంగా వాయిస్తున్న రవిశంకర్ మరియు  రమ్యంగా షహనాయ్ ని  ఆలపిస్తున్న బిస్మిల్ల ఖాన్ గార్ల ప్రదర్శనలు అందరినీ మంత్రముగ్ధులను చేస్తాయి. వారంతా ఆ అత్యున్నత స్థాయిని అందుకోవడానికి గల ముఖ్యకారణం వారందరిలోనూ ఉన్నఒకే ఒక లక్షణం  “ప్రతిభ” మరియు “అభ్యాసం”. 

కావున గణితశాస్త్ర బోధనాభ్యసన ప్రక్రియలో అభ్యాసంమరియు పునశ్చరణను భాగంగా చేయవచ్చా ? 

గణితమంటే సంఖ్యలతో ఆడుకోవడమే. సంఖ్యలను, అవి సూచించే వాటిని అవగాహన చేసుకోగలిగితే వాటి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని అవగాహన చేసుకోవడం సులభం. ఒక సమూహంలో ఉన్న వస్తువులను ఒక్కొక్కటిగా లెక్కపెట్టడం ద్వారాగానీ లేదా వాటిని అమర్చిన పధ్ధతి ఆధారంగా కానీ వాటి సంఖ్యను గుర్తించడం విద్యార్థులకు ముఖ్యం. గణితశాస్త్రంలో సంఖ్యాభావన ముఖ్యమైనది. సంఖ్యాభావనలో సంఖ్యలు, వాటి ముఖవిలువలు , వాటి మధ్య సంభంధాల వివరాల అవగాహన ముఖ్యమైనది. సంఖ్యాభావనపై తగినంత అవగాహన కలిగినవారు సంఖ్యలమధ్య గల పరిమాణాత్మక బేధాన్నితెలుసుకోగలరు. సంఖ్యాభావన గణనప్రక్రియకు ఒక అర్థాన్ని ఇస్తుంది. Gersten మరియు Chard గణనప్రక్రియలలో ఉండాల్సిన సంఖ్యాభావనల అవగాహనకు మరియు భాషావగాహనకు మధ్యగల సంభంధాన్ని పోల్చిచూశారు. (Gersten &Chard,1999) రెండూ కూడా చాలా  చాలా ముఖ్యమైన భావనలు.  గణితంలోని  ఉన్నత సామార్థ్యాలను అవగాహన చేసుకోవడానికి ప్రాథమిక గణితభావనలను గుర్తుకుతెచ్చుకోగల కనీస సామర్థ్యం అవసరమౌతుంది.  Garnett  సంఖ్యాభావనల అవగాహన ద్వారా గణితప్రాథమిక భావనలను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడానికి తద్వారా గణినప్రక్రియలను నిర్వహణకు గల సంభంధం గురించి పరిశోధనలు చేశారు (Garnett 1992). అలాగే గణితంగురించి Paul Halmons ఇలా చెప్పారు “The only way to learn Mathematics is to do Mathematics”

“మానవులు పరిమితితోగల ధారణను,జ్ఞాపకశక్తిని సమస్యలపరిష్కారానికి ఉపయోగిస్తారని మనోవిజ్ఞానశాస్త్రవేత్తలు(జ్ఞానాత్మకరంగం) కనుగొన్నారు. ఈ పరిమితులకులోబడి ఒక పనిని లేదా పనిలోని కొంతభాగాన్ని తరచుగా చేయడం వలన అవి అలవాట్లుగా మారిపోతాయి( Whitehurst, 2003)”  

అయితే, పైన పేర్కొన్న పరిశోధన ఫలితాలన్నీ గణితశాస్త్రానికి ఎలాంటి సూచనలను అందజేస్తున్నట్లు ? 

ప్రాథమిక విషయాలను గణించడానికే ఎక్కువ సమయాన్ని కేటాయించే విద్యార్థులు  ఉన్నత భావనలను అవగాహనచేసుకోనేందుకు  తక్కువ సమయాన్నికలిగి ఉంటారు, అయితే గణితంలోని ప్రాథమిక విషయాలను సులభంగా గుర్తుంచుకొనే వారు ఉన్నత భావనలను అవగాహనచేసుకోనేందుకు ఎక్కువ సమయాన్ని కేటాయించగలరు. ఉదాహరణకు బహుళఅంకెల భాగహారాన్ని సాధించడంలో భాగంగా  అవసరమైన సంకలనానికి లేదా గుణకారానికి తనచేతివ్రేళ్లను ఉపయోగించే విద్యార్థి  భాగాహారంలోని ముఖ్యఅంశాలపై ఎక్కువ అవధానాన్ని కలిగి ఉండలేడు.  అందువలన బహుళఅంకెల భాగహారంలోని భావనలను అవగాహనచేసుకోవడంలో విఫలమౌతారు.

విద్యార్థులలో ఈ ప్రాథమికవిషయాలను తొందరగా  గుర్తుకుతెచ్చుకోనే సామార్థ్యం అభివృధ్ధిచెందకపోతే    ఉన్నతస్థాయి గణితనైపుణ్యాలైన  బహులఅంకెల  సంకలనం, వ్యవకలనం, భాగాహారం  మరియు  భిన్నాల  అభ్యసనం కుంటుపడుతుంది.  ఇది చివరకు వారు గణితచర్చలలో పాల్గొనడంలోనూ,  సమస్యా –పరిష్కారంలోనూ, జీవనైపుణ్యాలను పొందడంలోనూ కుంటుపడడానికి కారణమౌతుంది.  అలాగే ఇది విద్యార్థిలో ఆత్మస్థైర్యాన్ని తగ్గిస్తుంది, మిత్రుల చేతిలో గేలిచేయబడతాడు. గణితప్రతిభాపరీక్షలలో విజయం సాధించడానికి  గణితంలోని  ప్రాథమికవిషయాలను తొందరగా  గుర్తుకుతెచ్చుకోనే సామార్థ్యం చాలా దోహదపడుతుంది. జ్ఞానాత్మకరంగంలో నిర్వహించిన పరిశోధనలు కూడా నిరంతర అభ్యాసాన్ని సూచిస్తున్నాయి.  నిరంతర అభ్యాసం గణనప్రక్రియల వేగాన్ని పెంచుతుంది  అలాగే ప్రాథమిక నైపుణ్యాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడాన్ని వేగవంతంచేస్తాయి మరియు ఇందులోని ఆటంకాలను తగ్గిస్తాయి. (Klapp,  ,Boches, Trabert & Logan, 1991; Pirolli & Anderrson, 1985; Thorndike, 1921).     

ఒక సమస్య యొక్క పరిష్కార మార్గాన్ని అభ్యసించడంలో జ్ఞప్తికి పెట్టుకోవడంమరియు అభ్యాసం అనే నైపుణ్యాలు ఉన్నాయి కానీ పరిష్కారమార్గంలో గల తర్కాన్ని అర్థం చేసుకోవడం అవగాహనే గానీ జ్ఞప్తికి పెట్టుకోవడమో, అభ్యాసమో కాజాలవు. పరిష్కార మార్గసోపానాలను ప్రతిభావంతంగా బోధించడానికి ప్రతిభావంతంగా ప్రదర్శించడం మరియు అభ్యాసం మాత్రమే సరిపోతాయి. కానీ పరిష్కార మార్గసోపానాల వెనుక గలతర్కాన్ని విద్యార్థులు అవగాహనచేసుకొనేలా  బోధించడం కష్టతరమైనది. కొంత ప్రావీణ్యత కూడా అవసరం. అవగాహనచేసుకోవడం, ఉపయోగించడం రెండూ వేరు వేరు అంశాలు.  ఉదాహరణకు గుణకారాన్ని అవగాహనచేసుకోవడం ఒక అంశమైతే గుణకారాన్ని వేగంగా మరియు ఖచ్చితంగా చేయడం మరొక అంశం. కొంతమంది గుణకారాన్ని అవగాహన చేసుకోకనే గుణకారాన్ని సమర్థవంతంగా ఒకే పధ్ధతిని తరచూ పాటించడం (అభ్యాసం) వలన చేయగలరు. మరి కొంతమంది గుణకార భావనను అవగాహన చేసుకొన్నా కాలుక్లేటర్ లేకుండా గుణకారాన్ని నిర్వహించలేరు. కావున ఎక్కువశాతం గణితాంశాలలో అవగాహన మరియు అభ్యాసం రెండూ ప్రధానభూమికను నిర్వహిస్తాయి.

గణితోపాధ్యాయులు బోధనాభ్యసన ప్రక్రియలో బాగంగా సాధారంగా 4పద్ధతులను అవలంబిస్తారు.

నైపుణ్యాల పధ్ధతి:  ఈ పధ్దతికి గణిత ప్రక్రియలకు సంబంధించిన జ్ఞానం ఆధారంగా ఉంటుంది. 

భావగ్రహణ పధ్ధతి:  అర్థవంతంగా గణితఅంశాలను, సూత్రాలను,నియమాలను అవగాహాన చేసుకోవడం, ఈ పధ్ధతిలో ముఖ్యమైనది.

సమస్యా పరిష్కార పధ్ధతి:  ఈ పధ్ధతిలో గణితాలోచనలకు ప్రాధాన్యతను ఇస్తారు.

పరిశోధత్మక పధ్ధతి:  ఈ పధ్ధతిలో గణితనియమాల, సూత్రాల, ప్రక్రియల అర్థవంతమైన అవగాహన ముఖ్యం.

పై నాలుగు పద్ధతులు ఏదో ఒక స్థాయిలలో “అభ్యాసం”పై ఆధారపడ్డవే. భుధ్ధికుశలత కల్గిన ఉపాధ్యాయుడు విద్యార్థులతో “అభ్యాసాన్ని” లేదా పునశ్చరణను విసుగనిపించని రీతిలో చేయిస్తారు.  ఉదాహరణకు 5 అనేసంఖ్యను మొదట 5రాళ్ళను లేదా గోళీలను ఉపయోగించిచూపవచ్చు. కానీ దీనికి “అభ్యాసం”గా మాత్రం  పిల్లలను 5 సార్లు చప్పట్లు కొట్టమని లేదా 5 సార్లు గెంతమని లేదా ఒక్కొక్క గ్రూపులో 5 గురు ఉండేలా బృందాలుగా  ఏర్పడమని చెప్పవచ్చు. ఇలాంటి “అభ్యాసం” 5 అంకెను  పదిసార్లు వ్రాయమని చెప్పే అభ్యాసానికి పూర్తీగా వేరైనది.

నేను ఎనిమిదో తరగతి విద్యార్థులకి  Hero’s సూత్రం s (s-a)(s-b)(s-c) బోధించాల్సి ఉంది. దానిని ఒక పాటలాగా “sun, sun meeri aashaa, sun meri bhasha, sun meri champa re”  అంటూ చెప్పాను. ఇక్కడ  sun అంటే “s” aasha, bhasha, champa లు a,b,c లను  meri తీసివేతకుగుర్తు.  పిల్లలందరూ దీనిని నృత్యం చేస్తూ చెప్పారు. తరగతి పూర్తీయ్యే సమయానికి విద్యార్థులందరికీ ఈ సూత్రం వచ్చేసింది.

అభ్యాసం ఎపుడు విసుగనిపిస్తుంది? లేదా  అభ్యసనంలో అభ్యాసం”  ఉపయుక్తం కాదని అనిపిస్తుంది ?

ఒక భావనను పరిచయం చెయ్యకనే లేదా సరైన అవగాహన లేకుండా అభ్యాసం చేయడం అర్థరహితం అవుతుంది.  యత్నదోష పధ్ధతిలో అభ్యసించడం కూడా ఫలితాన్నిఇవ్వదు. ఒక గణితసమస్యని విద్యార్థి సాధించలేక  పోవడానికి  పలుకారణాలు ఉంటాయి, అవగాహన చేసుకొని అంశాన్ని మరొకసారి వివరించడం లేదా ఒకసారి మాత్రమేవిని అవగాహన చేసుకోలేనివి మొదలైనవి ఉంటాయి. విద్యార్థి సమస్యను పరిష్కరించలేకపోవడానికి మూలకారణం కనుక్కొని పరిష్కరించనంతవరకు ఈ సమస్యకు సమాధానం దొరకదు.          

అభ్యాసం ఎప్పుడు ఉపయుక్తంగా ఉంటుంది ?

·         అభ్యాసం అభ్యాసకునికి ఆసక్తికరంగా ఆనందంగా ఉండాలి.

·         అభ్యాసం చేసే అంశంపై అభ్యాసకునికి అవగాహన ఉన్నప్పుడే అది ఉపయుక్తంగా ఉంటుంది.

·         బొధనాభ్యసన ప్రక్రియలో అభ్యాసాన్ని సమీకృతం చేయాలి

·         అభ్యాసాన్ని నిర్వహించడానికి సాంకేతిక పరిజ్ఞానం చాలా ఉపయోగపడుతుంది.  

“అభ్యాసం”  ఒక్కటే అభ్యసనాన్ని అభివృద్ధి చేస్తుందా ?

మెరుగైన ఫలితాలను పొందడానికి  అభ్యాసంతో పాటు నిరంతర పునశ్చరణ కూడా అవసరమని చాలా పరిశోధనలు నిరూపిస్తున్నాయి. బోధనజరిపిన మరుసటిరోజు మరియు ఏడవరోజు పునశ్చరణ నిర్వహించిన తరగతిలోని విద్యార్ధులు, బోధనజరిపిన మరుసటి రెండు రోజులూ  పునశ్చరణ నిర్వహించిన తరగతిలోని విద్యార్ధుల కంటే మెరుగ్గా గణితంలోని సూత్రాలను, నియమాలను అభ్యసించారని 1973వ సంవత్సరంలో Gay నిర్వహించిన అధ్యయనం తెలియచేసింది. సాధారణంగా పాఠ్యపుస్తకాలలో పునశ్చరణను అధ్యాయం చివరలో పొందుపరుస్తారు. కానీ పునశ్చరణను “మెరుగ్గారూపకల్పనచేసి  బోధనాభ్యసనప్రక్రియలో భాగంగా చేయాలని” పరిశోధనలు సూచిస్తున్నాయి.

తగినంత అభ్యాసం లేకపోతే కూడా పిల్లలు ఏతరగతిలోనూ తాము ప్రావీణ్యతని సాధించాల్సిన సామర్థ్యాలలో వారు ప్రావీణ్యతను సాధించలేరు. ఆ భావనలో వారు కొంతనైపుణ్యాన్ని సాదించవచ్చు కానీ ప్రావీణ్యతను సాధించలేరు. “ప్రతి గణితోపాధ్యాయుడు సాధారణంగా గమనించే విషయం, విద్యార్థులకు ప్రస్తుత తరగతి సామర్థ్యాలను బోదించే ముందు ఆ అంశంలోని ముందుతరగతి సామర్థ్యాలను తప్పక బోదించాల్సి వస్తోంది.  ఉదాహరణకు సాధారణస్థాయి విద్యార్థి భిన్నాలసంకలనాన్ని అంకగణిత బోధనా సమయానికి  తెలుసుకొని ఉండాలి కానీ ఆ విద్యార్థికి బీజగణితంలో కొన్ని విషయాలు తెలుసుకొన్న తరువాత భిన్నాలసంకలనాన్ని తెలుసుకొంటాడు. అలాగే బీజగణితాన్ని అభ్యసించాల్సిన సమయంలో బీజగణితాన్ని నేర్చుకోడు దానిని కలనగణితం నేర్చుకొనే సమయంలో తప్పనిసరి పరిస్థితులలో నేర్చుకొంటాడు. కలనగణితాన్ని కలనగణితం బోధించే సమయంలో కాకుండా అవకలన సమీకరణాలను బోదించే సమయలో కొంత నేర్చుకొంటాడు.ఈ విధంగా అతని విద్యాభ్యాసంలోని ప్రతిదశలోనూ జరుగుతుంది.  ఇది ముందు తరగతికి బోధించిన ఉపాధ్యాయును కారణంగా కాక అతనికి తగినంత అభ్యాసం లేకపోవడం లేదా ఉన్నా తగినంతగా లేకపోవడం  వలన సంభవిస్తుంది.”  అత్యున్నతమైన  విద్యను బోధించడం ద్వారానే అభ్యసించవచ్చు. Ralph P.Baas

“అభ్యాసం” గణితబోధనాభ్యసన ప్రక్రియలో అంతర్భాగం కావాలి. సృజనాత్మక ఉపాధ్యాయుడు ఒక గొప్ప చేనేతకళాకారుడు రంగులను మేలవించిన విధంగా గణితాన్ని, అభ్యసాన్ని మేళవించి అద్భుతమైన గణితబోధన చేయగలడు. ఈ విధమైన “అభ్యాసం” గణితాసక్తిని పెంచుతుందే కాని  త్రుంచదు. కావున  “let us not drill and kill but drill and thrill”   ___________________________________________________________________________________________   

ఉమా హరికుమార్ : 25 సంవత్సరాలపాటు ఉపాధ్యాయురాలిగా చేశారు. ఈమే బెంగుళూరులోని Sophia High School మరియు కేంద్రీయ విద్యాలయాలలో వృత్తిని నిర్వహించారు. ఈమె అజీమ్ ప్రేమ్ జి ఫౌండేషన్ లో సభ్యులుగా 2003లో చేరారు. ప్రస్తుతం Academics and Pedagogy విభాగంలో consultant గా ఉంటున్నారు. ఈమెను umaharikumar@yahoo.com ద్వారా సంప్రదించవచ్చు.  

18084 registered users
6933 resources